ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ
Με τον προσδιορισμό του μήκους και του εμβαδού του κύκλου ασχολήθηκαν
οι άνθρωποι πριν χιλιάδες χρόνια. Σε αρχαίο Αιγυπτιακό πάπυρο αναφέρεται
ότι το εμβαδόν ενός κύκλου που έχει διάμετρο Δ είναι ίσο με (64/81) Δ*Δ.
Από τον υπολογισμό αυτό προκύπτει ότι για τους Αιγυπτίους ήταν π = 3.16049
. Οι Βαβυλώνιοι επίσης ασχολήθηκαν με την μέτρηση του κύκλου. Έτσι,
από μια πινακίδα της δεύτερης χιλιετηρίδας π.Χ. προκύπτει ότι π = 3
1/8 .
Και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις δεν είναι γνωστός ο τρόπος που
χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό των προσεγγίσεων του π. Η πρώτη φορά
που συναντάται με μαθηματική αυστηρότητα η μελέτη του εμβαδού του κύκλου
είναι στο 12ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, όπου αποδεικνύεται ότι
ο λόγος των εμβαδών των κύκλων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου των
διαμέτρων τους.
Ο Αρχιμήδης τέλος, στο έργο του «Κύκλου μέτρηση», και αφού χρησιμοποίησε
ένα κανονικό πολύγωνο με 96 πλευρές εγγεγραμμένο σε κύκλο, βρήκε ότι
223/71<π<220/70 (δηλαδή 3,14084). Αργότερα ο Πτολεμαίος βρήκε
ακόμα στενότερα όρια για το π, ενώ ο Johann Heinrich Lambert απέδειξε ότι
το π είναι ένας άρρητος αριθμός.
ΑΡΧΑΙΟΙ ΑΙΓΥΠΤΙΟΙ
Ένα πολύ συνηθισμένο πρόβλημα που είχαν να αντιμετωπίσουν οι αρχαίοι
Αιγύπτιοι ήταν το μοίρασμα του ψωμιού. Για να ξεπεράσουν το πρόβλημα
αυτό μελέτησαν πάρα πολλά παραδείγματα, ένα από τα οποία ήταν το πώς θα
μοιράσουν ένα, δύο, έξι, οκτώ και εννέα καρβέλια ψωμί σε δέκα ανθρώπους.
Στην πρώτη περίπτωση έδειξαν ότι πρέπει να δώσουμε σε καθένα από τους 10
ανθρώπους το 1/10 της φρατζόλας. Ο ένας λοιπόν παίρνει 1/10 της φρατζόλας,
οι δύο 2/10 ή 1/5 της φραντζόλας και οι τέσσερις 2/5 ή 1/3+1/15 της φραντζόλας.
Επομένως, οκτώ άνθρωποι θα πάρουν 2/3+2/15 ή 2/3+1/10+1/30 και προσθέτοντας
και άλλους 2 ανθρώπους (δηλαδή 1/5 φραντζόλας) έχουμε 2/3+1/5+1/10+1/30
ή μια φραντζόλα! Στο τρίτο πρόβλημα, έπρεπε να μοιράσουν έξι καρβέλια σε
10 άτομα. Εδώ, ο καθένας αποδείχτηκε ότι θα πάρει 1/2 από μία φραντζόλα
και 1/10 από μία άλλη, αφού με παρόμοιους υπολογισμούς καταλήγουμε ότι
και οι 10 θα έχουν πάρει συνολικά 6 φραντζόλες. Ομοίως έλυσαν και τις υπόλοιπες
περιπτώσεις.
ΕΝΑ ΠΑΛΙΟ ΑΡΑΒΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Πεθαίνοντας ένας Άραβας άφησε με διαθήκη την περιουσία του που ήταν
17 καμήλες, στους τρεις γιους του με τον όρο:
ο μεγαλύτερος να πάρει τις μίσες ο δεύτερος να πάρει το 1/3 και ο μικρότερος
να πάρει το 1/9.Πως έγινε η μοιρασιά;
Τα παιδιά δεν μπόρεσαν να κάνουν την μοιρασιά, γιατί το 17 δεν
διαιρείται ούτε με το 2, ούτε με το 3, ούτε με το 9. Πήγαν λοιπόν σε ένα
γέρο-σοφό που τους είπε τα εξής: «Πάρτε και τη δική μου καμήλα. Έτσι, θα
έχουμε να μοιράσουμε 17+1=18 καμήλες, σύμφωνα με τους όρους της διαθήκης.»
-Ο πρώτος λοιπόν θα πάρει 18/2 = 9 καμήλες
-Ο δεύτερος 18/3 = 6 καμήλες
-Ο τρίτος 18/9 = 2 καμήλες
Βλέπουμε ότι η μοιρασιά έγινε δίκαια και ότι 9+6+2=17 καμήλες.
Ο γέρο-σοφός τελείωσε λέγοντας «την καμήλα που περίσσεψε βάλτε την στην
σκηνή μου ξανά». Η ανωμαλία είναι φαινομενική και εξηγείται εύκολα. Όταν
χωρίζουμε ένα μέγεθος σε κλάσματα, το άθροισμα των κλασμάτων πρέπει να
είναι ίσο με 1. Αφού όμως 1/2+1/3+1/9=17/18 έλειπε 1/18 για να γίνει
η μοιρασιά. Έτσι ο γέρο-σοφός, δίνοντας τη δική του καμήλα ήξερε από την
αρχή ότι δεν θα την έχανε, αφού πάλι τα τρία αδέρφια θα έπαιρναν μόνο τα
17/18 από το σύνολο των καμηλών.
Ο ΖΗΝΩΝΑΣ
Ο Έλληνας φιλόσοφος Ζήνωνας έζησε στην
Ελέα της Κάτω Ιταλίας και ήταν μαθητής του Παρμενίδη, τον οποίο και διαδέχτηκε
στην Ελεατική Φιλοσοφική Σχολή. Έγινε διάσημος για τα παράδοξα που διατύπωσε,
μεταξύ των οποίων το πιο γνωστό είναι το παράδοξο του Αχιλλέα με την χελώνα.
Έλεγε λοιπόν ο Ζήνωνας ότι:
Ο Αχιλλέας που βαδίζει 10 φορές γρηγορότερα από μία χελώνα, δεν θα
μπορέσει ποτέ να τη φθάσει, αν η χελώνα προηγείται ένα στάδιο (περίπου
150m) από αυτόν.
Δικαιολογούσε τον ισχυρισμό του αυτό με τον εξής συλλογισμό:
Όταν ο Αχιλλέας βαδίζει το 1 στάδιο, που τον χωρίζει από την χελώνα,
αυτή θα έχει βαδίσει το 1/10 και επομένως θα προηγείται. Όταν ο Αχιλλέας
βαδίσει το 1/10 του σταδίου, η χελώνα θα έχει βαδίσει το 1/100 του σταδίου
και επομένως πάλι θα προηγείται. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο βλέπουμε
ότι, κάθε φορά που ο Αχιλλέας βαδίζει ένα διάστημα δ για να φθάσει τη χελώνα,
αυτή θα έχει βαδίσει το δ/10 και επομένως πάντοτε θα προηγείται.
Με το παράδοξο αυτό ασχολήθηκαν κατά καιρούς μεγάλοι φιλόσοφοι όπως
ο Αριστοτέλης, ο Hegel και άλλοι.
Βέβαια το παράδοξο του Ζήνωνα, αν και φαίνεται λογικά θεμελιωμένο,
αντιφάσκει προς την εμπειρία μας, γιατί όλοι ξέρουμε ότι ο Αχιλλέας θα
φθάσει τη χελώνα. Μάλιστα, το διάστημα S σε στάδια, που πρέπει να βαδίσει
ο Αχιλλέας μέχρι να φθάσει τη χελώνα είναι:
S=1+1/10+1/100+1/1000+...=
=1+0.1+0.01+0.001+...=
=1.111...
Δηλαδή το διάστημα αυτό θα εκφράζεται σε στάδια με αυτόν τον περιοδικό
δεκαδικό αριθμό ή αν τον μετατρέψουμε σε κλασματική μορφή θα έχουμε S=1+1/9
. Επομένως ο Αχιλλέας θα φτάσει τη χελώνα όταν βαδίσει 1+1/9 στάδια.
FERMAT
Ο Fermat δεν
ασχολήθηκε με τα μαθηματικά κατά την εφηβεία του αφού σπούδασε νομικά.
Πολύ αργότερα και κατά το τριακοστό έτος της ηλικίας του, ξεκίνησε τις
σπουδές του στα μαθηματικά. Ασχολήθηκε με έργα της αρχαιότητας και μελέτησε
αρκετά τις κωνικές τομές και άλλες καμπύλες. Ξακουστό έχει μείνει το εξής
θεώρημα που αναφέρεται ως θεώρημα του Fermat και το οποίο βρέθηκε στο περιθώριο
ενός βιβλίου του: Καμία ακέραια τιμή του ν, μεγαλύτερη του 2, δεν επαληθεύει
την εξίσωση xν + yν = zν . Αν και ο ίδιος αναφέρει ότι είχε
βρει την απόδειξη αυτού του θεωρήματος και ότι θα την έγραφε σε ξεχωριστό
βιβλίο, αυτή όχι μόνο δεν βρέθηκε αλλά ούτε μέχρις σήμερα έχει αποδειχτεί!
ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΙΔΙΟΦΥΪΑ
Γύρω στα 1782,ο δάσκαλος ενός γερμανικού χωριού, θέλοντας να εξασκήσει
τους μαθητές του, τους ζήτησε να υπολογίσουν το άθροισμα 1+2+3+...+98+99+100
. Δεν πέρασαν μερικά λεπτά και...
- Κύριε κύριε
- Λέγε Γκάους
- Τελείωσα κύριε
-Για να δω τι έκανες.
Ο μικρός Γκάους παίρνει την κιμωλία και αρχίζει να γράφει
1+2+3+...+98+99+100=
=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(49+52)+(50+51)=
=101+101+101+...+101+101=
=50*101=5050
Ο δάσκαλος εντυπωσιάστηκε και για να δοκιμάσει τις ικανότητές του έξυπνου
αυτού μαθητή, του ζήτησε να υπολογίσει το άθροισμα 1+2+3+...+999+1000.
Και πάλι μετά από λίγα λεπτά
-Κύριε, κύριε το βρήκα.
-Τι;
-Αλήθεια το βρήκα!
Η μικρή αυτή μεγαλοφυΐα που όταν μεγάλωσε έγινε ένας από τους μεγαλύτερους
μαθηματικούς, ήταν ο Karl Friedrich GAUSS (1777-1850).